Question

設a₀為常數，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N⁺）．
（1）若數列{a_n+λ3ⁿ}是等比數列，求實數λ的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）假設對任意n≥1，有a_n≥a_n-1，求a₀的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意知a_n+λ3ⁿ=-2（a_n-1+λ3^n-1），a_n=-2a_n-1-2•λ•3^n-1-λ3ⁿ，∴．
（2）數列 的首項為，公比為-2．
，∴，n=0，1，2，3，…
（3）利用（2）的結果，得a_n≥a_n-1等價于…③
對任意的奇數n＞0，③式都成立的充要條件為，即；
而對任意的偶數n＞0，③式都成立的充要條件為，即a₀＞0．
因此任意n≥1，都使a_n≥a_n-1成立的a₀的取值范圍為 ．
分析：（1）由題意知 a_n+λ3ⁿ=-2（a_n-1+λ3^n-1），故 a_n=-2a_n-1-2•λ•3^n-1-λ3ⁿ，待定系數法求出實數λ的值．
（2）根據數列 的首項為，公比為-2，可得通項公式．
（3）利用（2）的結果，得a_n≥a_n-1等價于…③，分n為奇數和偶數兩種情況分別求出
a₀的值，取交集即得所求．
點評：本題考查等比數列的定義和性質，等比關系的確定，數列與不等式的綜合，體現了等價轉化的數學思想，
求出數列的通項公式，是解題的關鍵．