Question

設a₀為常數，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N*）．證明：n≥1時，a_n=

1

5

[3ⁿ+（-1）^n-1•2ⁿ]+（-1）ⁿ•2ⁿ•a₀．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是數學歸納法及數列的遞推公式，由題目中已經給出了遞推公式，證通項公式，可用數學歸納法證明結論，我們先證明n=1時，通項公式正確，然后假設n=k（k∈N*）時正確，進而得到設n=k+1時，公式仍成立．

解答：證明：（1）當n=1時，

1

5

[3+2]-2a₀=1-2a₀，而a₁=3⁰-2a₀=1-2a₀．
∴當n=1時，通項公式正確．
（2）假設n=k（k∈N*）時正確，即a_k=

1

5

[3^k+（-1）^k-1•2^k]+（-1）^k•2^k•a₀，
那么a_k+1=3^k-2a_k=3^k-

2

5

×3^k+

2

5

（-1）^k•2^k+（-1）^k+1•2^k+1a₀
=

3

5

•3^k+

1

5

（-1）^k•2^k+1+（-1）^k+1•2^k+1•a₀
=

1

5

[3^k+1+（-1）^k•2^k+1]+（-1）^k+1•2^k+1•a₀．∴當n=k+1時，通項公式正確．
由（1）（2）可知，對n∈N*，a_n=

1

5

[3ⁿ+（-1）^n-1•2ⁿ]+（-1）ⁿ•2ⁿ•a₀．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．由n=k正確?n=k+1時也正確是證明的關鍵．