Question

正項數列滿足：a₀=0，a₁=1，點Pn(

an+1 an

，

an-1 an

)在圓x2+y2=

5

2

上，（n∈N^*）
（1）求證：an+1+an-1=

5

2

an；
（2）若（n∈N），求證：數列{b_n}是等比數列；
（3）求和：b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意：

an+1

an

+

an-1

an

=

5

2

，從而可證
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=an+1-2an=

5

2

an-an-1-2an=

1

2

(an-2an+1)=

1

2

bn-1（n≥1）可證
（Ⅲ）令Sn=

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，利用錯位相減可求

解答：解：（Ⅰ）由題意：

an+1

an

+

an-1

an

=

5

2

∴an+1+an-1=

5

2

an…（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=an+1-2an=

5

2

an-an-1-2an=

1

2

(an-2an+1)=

1

2

bn-1（n≥1）
數列{b_n}滿足：b₀=a₁-3a₀=1，故bn=(

1

2

)n…（6分）
（Ⅲ）令Sn=

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n

1

2

Sn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+3•(

1

2

)4…+(n-1)(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1…（8分）
相減得：

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1=1-(

n

2

+1)•(

1

2

)n…（10分）
∴Sn=2-(n+2)•(

1

2

)n…（12分）

點評：本題主要考查了等比數列關系的確定（判斷），等比數列通項公式的應用，乘公比錯位相減求解數列的和是數列求和的重點和難點所在，要注意掌握．