Question

已知方程x³+ax²+bx+c=0的三個(gè)實(shí)根可分別作為一個(gè)橢圓、一雙曲線、一拋物線的離心率．（1）求a+b+c的值；（2）求

b

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=x³+ax²+bx+c，把x=1，y=0代入函數(shù)解析式求得a+b+c的值；
（2）然后求得a，b和c的關(guān)系代入函數(shù)解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，設(shè)g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b橢圓和雙曲線的離心率的范圍確定兩根的范圍確定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用線性規(guī)劃求得

b

a

的范圍．

解答：解：（1）令f（x）=x³+ax²+bx+c
∵拋物線的離心率為1
∴1是方程f（x）=x³+ax²+bx+c=0的一個(gè)實(shí)根
∴a+b+c=-1
（2）1+a+b+c=0得c=-1-a-b代入
f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b
=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b]
設(shè)g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b
g（x）=0的兩根滿足0＜x₁＜1，x₂＞1
g（0）=1+a+b＞0
g（1）=3+2a+b＜0
用線性規(guī)劃得-2＜

b

a

＜-

1

2

故答案為：-1，(-2，-

1

2

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)和根的分布，圓錐曲線的共同特征，線性規(guī)劃的基礎(chǔ)知識(shí)．考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．