Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1．
（1）寫出求數列{a_n}的前3項a₁，a₂，a₃；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）證明：對任意的整數m＞4，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）是考查已知遞推公式求前幾項，屬于基礎題，需注意的是S₁=a₁，需要先求出a₁才能求出a₂，這是遞推公式的特點．
（2）的解答需要利用公式進行代換，要注意n=1和n≥2的討論，在得到a_n=2a_n-1+2（-1）^n-1，可以設構造一個等比數列；
（3）的解答需要在代換后，適當的變形，利用不等式放縮法進行放縮．
解答：解：（1）當n=1時，有：S₁=a₁=2a₁+（-1）⇒a₁=1；
當n=2時，有：S₂=a₁+a₂=2a₂+（-1）²⇒a₂=0；
當n=3時，有：S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃+（-1）³⇒a₃=2；
綜上可知a₁=1，a₂=0，a₃=2；
（2）由已知得：a_n=S_n-S_n-1=2a_n+（-1）ⁿ-2a_n-1-（-1）^n-1
化簡得：a_n=2a_n-1+2（-1）^n-1
上式可化為：
故數列{}是以為首項，公比為2的等比數列．
故∴
數列{a_n}的通項公式為：．
（3）由已知得：=====．
故（m＞4）．
點評：本題考查的遞推數列較為典型，對公式的應用是高考考查的重點，要能熟練的應用．另外本題（2）中對構造數列的考查較好，（3）中不等式證明中的放縮是一個難點，需要有扎實的基本功及一定的運算能力，對運算放縮能力要求較高．