Question

已知函數f（x）=|x+1|-|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若不等式f（x）≤2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數恒成立問題

專題：不等式

分析：（1）將a=0代入函數的表達式|x+1|≥|x|，兩邊平方解出即可；（2）通過討論x≤-1時，-1＜x≤0時，x＞0時的情況，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）若a=0，則f（x）=|x+1|-|x|≥0，
∴|x+1|≥|x|，
∴（x+1）²≥x²，解得：x≥-

1

2

，
∴不等式f（x）≥0的解集是{x|x≥-

1

2

}；
（2）x≤-1時，f（x）=a-1≤2，解得：a≤3①，
-1＜x≤0時，f（x）=2x+1+a≤2，
∴a≤1-2x在（-1，0]恒成立，
而函數y=1-2x在（-1，0]的最小值是1，
∴a≤1②，
x＞0時，f（x）=x+1-x+a≤2，解得：a≤1③，
綜合①②③得：a≤1．

點評：本題考查了絕對值不等式的解法，考查了函數恒成立問題，考查了分類討論思想，是一道中檔題．