Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx，（a，b為常數，且a≠0）滿足條件f（2﹣x）=f（x﹣1），且方程f（x）=x有兩個相等的實根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值；
（3）是否存在實數m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]與[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知f（x）=ax2+bx關于x= 對稱

∴﹣ =

ax2+bx=x有兩個相等的實根，∴△=0

∴

所以，f（x）=﹣x2+x

（2）解：F（x）=kx+1+x2﹣x=x2+（k﹣1）x+1

F（x）的對稱軸為：x=﹣

①當﹣ ≤1時， F（x）min=F（1）≤k+1

②當 1＜﹣ ≤2時，

③當﹣ ＞2 時， F（x）min=F（2）=2k+3

∴F（x）min=

（3）解：f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣ ）2+

∴2n n

∴f（x）在[m，n]上單調遞增

∴

∵m＜n

∴

【解析】1、本題考查的是一元二次函數解析式的求法；根據對稱軸，根的情況求出函數解析式里的未知數。
2、本題考查的是一元二次函數在指定區間上的最值問題，對稱軸在指定的區間內就能取到最值，不在則根據單調性去求得。
3、本題考查的是一元二次函數三要素定義域、值域、對應法則以及單調性的簡單應用。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．