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13.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$.
(1)若函數(shù)f(x)的曲線上一條切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,0),求該切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,+∞)上的最大值與最小值.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)切點(diǎn)是(a,$\frac{{a}^{2}}{{e}^{a}}$),求出a的值,從而求出切線方程即可;
(2)求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,從而求出f(x)的最值即可.

解答 解:(1)f′(x)=$\frac{x(2-x)}{{e}^{x}}$,
設(shè)切點(diǎn)是(a,$\frac{{a}^{2}}{{e}^{a}}$),則k=f′(a)=$\frac{a(2-a)}{{e}^{a}}$,
故切線方程是:y-$\frac{{a}^{2}}{{e}^{a}}$=$\frac{a(2-a)}{{e}^{a}}$(x-a)(*),
將(0,0)帶入(*)得:a=1,
故切點(diǎn)是(1,$\frac{1}{e}$),k=$\frac{1}{e}$,
故切線方程是:y-$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{e}$(x-1),
整理得:y=$\frac{1}{e}$x;
(2)f′(x)=$\frac{x(2-x)}{{e}^{x}}$,
令f′(x)>0,解得:0<x<2,
令f′(x)<0,解得:x>2或x<0,
故f(x)在[-3,0)遞減,在(0,2)遞增,在(2,+∞)遞減,
而f(-3)=9e3,f(0)=0,f(2)=$\frac{4}{{e}^{2}}$,x→+∞時(shí),f(x)→0,
故f(x)的最小值是0,最大值是f(-3)=9e3

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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