Question

已知A（－2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)連線的斜率分別為和，且滿足·=t (t≠0且t≠－1).

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）當(dāng)t＜0時(shí)，曲線C的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，若曲線C上存在點(diǎn)Q使得∠F₁QF₂=120^O，

求t的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）+=1（x≠2）

（2）

【解析】(1)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),依題意得=ty²=t(x²－4)+=1

軌跡C的方程為+=1（x≠2）.

(2)當(dāng)－1＜t＜0時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，

設(shè)=r₁，= r₂, 則r₁+ r₂=2a=4.

在△F₁PF₂中，=2c=4,

∵∠F₁PF₂=120^°，由余弦定理，

得4c²=r+r－2r₁r₂= r+r+ r₁r₂

= (r₁+r₂)²－r₁r₂≥(r₁+r₂)²－()²=3a², ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－.

所以當(dāng)－≤t＜0時(shí)，曲線上存在點(diǎn)Q使∠F₁QF₂=120^°

當(dāng)t＜－1時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，

設(shè)=r₁，= r₂，則r₁+r₂=2a=－4 t,

在△F₁PF₂中， =2c=4.

∵∠F₁PF₂=120^O，由余弦定理，

得4c²=r+r－2r₁r₂= r+r+ r₁r₂

= (r₁+r₂)²－r₁r₂≥(r₁+r₂)²－()²=3a², ∴16（－1－t）≥－12tt≤－4.

所以當(dāng)t≤－4時(shí)，曲線上存在點(diǎn)Q使∠F₁QF₂=120^O

綜上知當(dāng)t＜0時(shí)，曲線上存在點(diǎn)Q使∠AQB=120^O的t的取值范圍是

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