Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于點E，
求證：（1）BD₁⊥平面ACB₁；
（2）BE=

1

2

ED₁．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積

BD1

•

AC

=0，

BD1

• 

AB1

=0，從而證明BD₁⊥平面ACB₁；
（2）設底面正方形的對角線AC、BD交于點M，推出2

BM

=

B1D1

．設

OB

=b，

OM

=m，

OB1

=b₁，

OD1

=d₁，求得點E分線段B₁M及D₁B各成λ（λ=2）之比，點E是D₁B與平面ACB₁之交點，此交點E將D₁B分成2與1之比，即BE=

1

2

ED₁．

解答：證明：（1）先證明BD₁⊥AC．
∵

BD1

=

BC

+

CD

+

DD1

，

AC

=

AB

+

BC

，
∴

BD1

•

AC

=（

BC

+

CD

+

DD1

）•（

AB

+

BC

）
=

BC

•

BC

+

CD

•

AB

=

BC

•

BC

-

AB

•

AB

=|

BC

|²-|

AB

|²
=1-1=0．
∴BD₁⊥AC．同理可證BD₁⊥AB₁，
于是BD₁⊥平面ACB₁．
（2）設底面正方形的對角線AC、BD交于點M，則

BM

=

1

2

BD

=

1

2

B1D1

，即2

BM

=

B1D1

．
對于空間任意一點O，設

OB

=b，

OM

=m，

OB1

=b₁，

OD1

=d₁，
則上述等式可改寫成2（m-b）=d₁-b₁或b₁+2m=d₁+2b．記

b1+2m

1+2

=

d1+2b

1+2

=e．
此即表明，由e向量所對應的點E分線段B₁M及D₁B各成λ（λ=2）之比，
所以點E既在線段B₁M（B₁M?面ACB₁）上又在線段D₁B上，
所以點E是D₁B與平面ACB₁之交點，此交點E將D₁B分成2與1之比，
即D₁E：EB=2：1．∴BE=

1

2

ED₁．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱的結構特征，考查轉化思想，邏輯思維能力，是中檔題．