Question

．（本題滿分14分）
已知圓M：定點，點為圓上的動點，點在上，點在上，且滿足。
(Ⅰ) 求點G的軌跡C的方程；
(Ⅱ) 過點（2,0）作直線l，與曲線C交于A，B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等（即｜OS｜＝｜AB｜）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由。

Answer 1

解：（1） ; （2）存在直線使得四邊形OASB的對角線相等.   

本試題主要是考查了圓錐曲線的軌跡方程的求解，借助于向量的工具，來表示，同時能運用聯立方程組的思想表示出直線與圓錐曲線的交點問題的關系式，結合向量得到直線方程。
（1）根據局題中的向量的關系式，運用坐標法表示得到軌跡方程
（2）設直線方程與橢圓的方程聯立，然后結合題中的圖形的特點和向量的關系式，得到直線關系式，確定直線的存在與否。
解：（1）Q為PN的中點且GQ⊥PN
GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|---------------------------------（3分）
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長，半焦距，∴短半軸長b=2，∴點G的軌跡方程是 ---------（6分）
（2）因為，所以四邊形OASB為平行四邊形，若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形……………（7分）
若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由
矛盾，……………（8分）
故l的斜率存在，設l的方程為
……………………（10分）
  ①………………………（11分）

  ② ………… ……………（12分）
把①、②代入∴存在直線使得四邊形OASB的對角線相等. ……… …………………… ……………（14分）