Question

在棱長為1的正方體AC₁中，E為AB的中點，點P為側面BB₁C₁C內一動點（含邊界），若動點P始終滿足PE⊥BD₁，則動點P的軌跡的長度為

2

2

．

Answer 1

分析：如圖，取BC，BB₁的中點F，G．先找到一個平面總是保持與BD₁垂直，即BD₁⊥面EFG，又點P在側面BCC₁B₁及其邊界上運動，并且總是保持AP與BD₁垂直，得到點P的軌跡為面EFG與面BCC₁B₁的交線段，結合平面的基本性質知這兩個平面的交線是FG．

解答：解：先找到一個平面總是保持與BD₁垂直，
取BC，BB₁的中點F，G．連接EF，FG，EG，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
有BD₁⊥面EFG，
又點P在側面BCC₁B₁及其邊界上運動，
根據平面的基本性質得：
點P的軌跡為面EFG與面BCC₁B₁的交線段FG．
在直角三角形BFG中，BG=BF=

1

2

，∴FG=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：本題考查線面垂直的判定與正方體的幾何特征、軌跡的求法、平面的基本性質等基礎知識，考查空間想象力．屬于基礎題．