Question

已知函數f（x）=

-x2+ 1 2 x，x＜0 ln(x+1)， x≥0

，若f（x）-kx有三個零點，則k的取值范圍為

(

1

2

，1)

．

Answer 1

分析：由題意畫出圖象，利用導數對x分x=0、x＜0、x＞0三種情況各有一個零點時的k的取值范圍求出來，再求交集即可．

解答：解：由題意畫出圖象：
（1）當x=0時，f（0）=ln1=0，k×0=0，0是函數f（x）-kx的一個零點；
（2）由函數的圖象和單調性可以看出，當x＞0和x＜0時，分別有一個零點．
①．當x＜0時，由-x2+

1

2

x=kx，化為x=

1

2

-k＜0，解得k＞

1

2

；
②當x＞0時，只考慮k＞

1

2

即可，
令g（x）=ln（x+1）-kx，則g′(x)=

1

x+1

-k，
A．當k≥1時，則g^′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0，g（x）無零點，應舍去；
B．當

1

2

＜k＜1時，0＜

1-k

k

＜1，
g^′（x）=

-k(x- 1-k k )

x+1

，令g^′（x）=0，解得x=

1

k

-1，列表如下：
由表格可知：當x=

1-k

k

時，g（x）取得極大值，也是最大值，當且僅當g(

1-k

k

)≥0時，g（x）才有零點，
g(

1-k

k

)=ln

1

k

-(1-k)=k-lnk-1．
下面證明h（k）=k-lnk-1＞0，k∈(

1

2

，1)．
∵h′(k)=1-

1

k

=

k-1

k

＜0，∴h（k）在(

1

2

，1)上單調遞減，∴g(

1-k

k

)=h（k）＞h（1）=1-ln1-1=0，
因此g(

1-k

k

)＞0在k∈(

1

2

，1)時成立．
綜上可知：當且僅當

1

2

＜k＜1時，函數f（x）-kx有三個零點．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值和最值的方法及數形結合、分類討論的思想方法是解題的關鍵．