【題目】如圖所示，在四棱錐
中，底面
為菱形，
底面，點
是
上的一個動點，
，
.
（1）當
時，求證：
；
（2）當
平面
時，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見證明；（2）
【解析】
(1)由已知可得PA
可證
平面
，所以
，可證
平面
，從而得到證明；（2）連接
交
于
，當
平面
時，
，以為原點，分別以
，
，
為
軸，
軸，
軸建立空間直角坐標系.求平面和平面PBD的法向量，利用兩個法向量的數量積計算即可得結果.
（1）因為
底面
，
平面，
所以
又為菱形，連接交于，所以
.
又因為
，
平面，
平面，
所以平面
又因為
平面，所以，又因為
，
平面，
平面，所以平面，又因為
平面
所以
.
（2）法一：因為平面，平面，
平面
平面
，
從而，
平面，又因為
.以為原點，
分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.
設
，
，
，
，
設平面
的法向量為
因為
，
，
由
，
，得
，
令
，則
，
.
設平面的法向量為
，因為
平面，
可設
，
設二面角
的平面角為
，由圖可知為銳角，從而
法二：因為在平面中
，在平面中，
，
從而
為二面角的平面角，
口算小狀元口算速算天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4—4：坐標系與參數方程
已知曲線
的參數方程是
（
是參數，
），直線
的參數方程是
（
是參數），曲線與直線有一個公共點在
軸上，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系
（1）求曲線的極坐標方程；
（2）若點
，
，
在曲線上，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下表提供了工廠技術改造后某種型號設備的使用年限x和所支出的維修費y（萬元）的幾組對照數據：
x（年） | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y（萬元） | 1 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）若知道y對x呈線性相關關系，請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程
；
（2）已知該工廠技術改造前該型號設備使用10年的維修費用為9萬元，試根據（1）求出的線性回歸方程，預測該型號設備技術改造后，使用10年的維修費用能否比技術改造前降低?
參考公式：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B，及CD的中點P處，已知
km,
,為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm．
（I）按下列要求寫出函數關系式：
①設
，將
表示成
的函數關系式；
②設
，將表示成
的函數關系式．
（Ⅱ）請你選用（I）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短．
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