Question

【題目】如圖，在四棱錐是平行四邊形，

（1）證明：平面平面PCD；

（2）求直線PA與平面PCB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）證明AC平面PCD，結(jié)合平面與平面垂直判定，即可。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別得出O,P,A,B,C坐標(biāo)，計(jì)算平面PCB的法向量，計(jì)算向量坐標(biāo)，結(jié)合空間向量數(shù)量積，計(jì)算，即可。

解（1）證明：因?yàn)?/span>

所以

所以

所以

因?yàn)?/span>，

所以

因?yàn)?/span>所以

（2）由（1）知

所以交線為CD，過(guò)P在平面PCD內(nèi)做CD的垂線，垂足為O，

取BC中點(diǎn)為M，連PM,AM，

因?yàn)?/span>,,

所以,又平面PAM

所以,

因?yàn)?/span> ,所以,因?yàn)橹本�AP平面PAM,

所以直線直線AP,

又,所以.

在中，由余弦定理得,

即

所以,

由此，，所以四邊形ABOC為平行四邊形，所以，所以

以直線OP為z軸，直線OD為x軸，直線OB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系.

所以

設(shè)是平面PBC的一個(gè)法向量，因?yàn)?/span>

所以，取，又,

所以，,

所以直線PA與平面PCB所成角的正弦值.