Question

（2012•安徽模擬）下列命題中，真命題是（　　）

• A．存在x∈R，sin2

  x

  2

  +cos2

  x

  2

  =

  1

  2

• B．任意x∈（0，π），sinx＞cosx
• C．任意x∈（0，+∞），e^x＞1+x
• D．存在x∈R，x²+x=-1

Answer 1

分析：根據同角基本關系可知，sin2

x

2

+cos2

x

2

=1；例如x=

π

6

∈(0，π)，但是sinx＜cosx；令f（x）=e^x-x-1，x＞0，由導數可判斷f（x）在x∈（0，+∞）單調遞增，f（x）＞f（0）=0，即e^x＞1+x；由于x²+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

＞0恒成立，

解答：解：根據同角基本關系可知，sin2

x

2

+cos2

x

2

=1恒成立，故A錯誤
例如x=

π

6

∈(0，π)，但是sinx＜cosx，故B錯誤
令f（x）=e^x-x-1，x＞0，則f′（x）=e^x-1＞0，x∈（0，+∞）
∴f（x）在x∈（0，+∞）單調遞增，
∴f（x）＞f（0）=0，即e^x＞1+x，故C正確
由于x²+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

＞0恒成立，故x²+x=-1不可能成立，故D錯誤
故選C

點評：本題主要考查了命題真假的判斷，解答的關鍵是熟練掌握基本知識并能靈活應用．