Question

6．已知三棱錐 S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2$\sqrt{3}$，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，則球O的體積為（　　）

• A． 4π
• B． $\frac{32}{3}π$
• C． $\frac{16}{3}π$
• D． 12π

Answer 1

分析 由三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2$\sqrt{3}$，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=$\frac{1}{2}$AC=1，由此能求出球O的半徑，從而能求出球O的體積．

解答 解：如圖，三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，
∵SA⊥平面ABC，SA=2$\sqrt{3}$，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{1+4-2×1×2×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴球O的半徑R=$\sqrt{1+（\frac{2\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=2，
∴球O的體積V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{32}{3}$π．
故選：B．

點評 本題考查球的體積的求法，合理地作出圖形，數形結合求出球半徑，是解題的關鍵．