Question

有甲、乙等7名選手參加一次演講比賽，采用抽簽的方式隨機確定每名選手的演出順序（序號為1，2，…，7）．
（Ⅰ）甲選手的演出序號是1的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩名選手的演出序號至少有一個為奇數的概率；
（Ⅲ）設在甲、乙兩名選手之間的演講選手個數為X，求X的分布列與期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設A表示“甲選手的演出序號是1”，所以P(A)=

1

7

．由此能求出甲選手的演出序號是1的概率．
（Ⅱ）設B表示“甲、乙兩名選手的演出序號至少有一個為奇數”，

.

B

表示“甲、乙兩名選手的演出序號都是偶數”．利用間接法能求出甲、乙兩名選手的演出序號至少有一個為奇數的概率．
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，4，5，分別求出其對應的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）設A表示“甲選手的演出序號是1”，所以P(A)=

1

7

．
所以甲選手的演出序號是1的概率為

1

7

．…（3分）
（Ⅱ）設B表示“甲、乙兩名選手的演出序號至少有一個為奇數”，

.

B

表示“甲、乙兩名選手的演出序號都是偶數”．
所以P(B)=1-P(

.

B

)=1-

A 2 3

A 2 7

=

6

7

．
所以甲、乙兩名選手的演出序號至少有一個為奇數的概率為

6

7

．…（6分）
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，4，5，…（7分）
所以P(X=0)=

12

A 2 7

=

2

7

，
P(X=1)=

10

A 2 7

=

5

21

，
P(X=2)=

8

A 2 7

=

4

21

，
P(X=3)=

6

A 2 7

=

1

7

，
P(X=4)=

4

A 2 7

=

2

21

，
P(X=5)=

2

A 2 7

=

1

21

．…（10分）
所以X的分布列為

X	0	1	2	3	4	5
P	2 7	5 21	4 21	1 7	2 21	1 21

…（12分）
所以EX=0×

2

7

+1×

5

21

+2×

4

21

+3×

1

7

+4×

2

21

+5×

1

21

=

5

3

．…（13分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是歷年高考撥考題型．解題時要認真審題，注意概率知識的合理運用．