Question

已知函數f（x）在實數集R上具有下列性質：①f（x+1）是偶函數，②f（x+2）=-f（x），③當1≤x₁＜x₂≤3時，（f（x₂）-f（x₁））•（x₂-x₁）＜0，則f（2011）、f（2012）、f（2013）的大小關系為（　　）

Answer 1

分析：由①得f（-x+1）=f（x+1）；由②可求得f（x）的周期；由③可判斷f（x）在[1，3]上的單調性；運用函數周期性及f（-x+1）=f（x+1）可把f（2011）、f（2012）、f（2013）轉化到區間[1，3]上處理，再利用單調性即可作出比較．

解答：解：由②得，f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），所以f（x）為以4為周期的函數；
由③知：f（x）在[1，3]上為減函數；
由①得，f（-x+1）=f（x+1），
所以f（2011）=f（4×502+3）=f（3），f（2012）=f（4×503）=f（0）=f（-1+1）=f（1+1）=f（2），f（2013）=f（4×503+1）=f（1），
因為f（x）在[1，3]上為減函數，所以f（1）＞f（2）＞f（3），即f（2013）＞f（2012）＞f（2011），
故選D．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性、周期性及其應用，準確理解相關定義及其變形是解決本題的基礎，解決本題的基本思路利用性質把問題轉化到區間[1，3]上解決．