Question

已知函數．（a∈R）
（1）當a=1時，求f（x）在區間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數的導函數判斷出其大于零得到函數在區間[1，e]上為增函數，所以f（1）為最小值，f（e）為最大值，求出即可；（2）令，則g（x）的定義域為（0，+∞）．證g（x）＜0在區間（1，+∞）上恒成立即得證．求出g′（x）分區間討論函數的增減性得到函數的極值，利用極值求出a的范圍即可．
解答：解（Ⅰ）當a=1時，，．
對于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在區間[1，e]上為增函數．
∴，
（Ⅱ）令，則g（x）的定義域為（0，+∞）．
在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方等價于g（x）＜0在區間（1，+∞）上恒成立．
∵．
①若，令g'（x）=0，得極值點x₁=1，．
當x₂＞x₁=1，即時，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0．
此時g（x）在區間（x₂，+∞）上是增函數，并且在該區間上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合題意；
當x₂＜x₁=1，即a≥1時，同理可知，g（x）在區間（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合題意；
②若，則有2a-1≤0，此時在區間（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．
從而g（x）在區間（1，+∞）上是減函數
要使g（x）＜0在此區間上恒成立，只須滿足．
由此求得a的范圍是[，]．
綜合①②可知，當a∈[，]時，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方．
點評：考查學生利用導數求函數在閉區間上的最值的能力．以及綜合運用函數解決數學問題的能力．