Question

已知函數，其中a∈R．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）在區間[2，3]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=2代入解析式，再求出導數，再求出切線的斜率f′（1）和f（1），代入點斜式方程再化為一般式；
（2）由題意求出導數并配方，對a進行分類：a≤0和a＞0討論，再a＞0情況下再分類，求出對應的臨界點，判斷出在[2，3]上的單調性，求出函數的最大值，最后在用分段函數的形式表示出來．
解答：解：（1）當a=2時，，
則f′（x）=2x²-4x，故切線的斜率k=f′（1）=-2，
又∵，∴切線方程為 ，
即6x+3y-5=0．
（2）由題意得f′（x）=2x²-4x+2-a=2（x-1）²-a，
當a≤0時，f′（x）≥0，∴f（x）在[2，3]上單調遞增，
則f（x）_max=f（3）=7-3a，
當a＞0時，令f′（x）=0，得
①當0＜a≤2時，f（x）在[2，3]上單調遞增，則f（x）_max=f（3）=7-3a
②當2＜a＜8時，f（x）在上單調遞減，在上單調遞增，
比較f（2）與f（3）的大小，令f（2）＞f（3），
＞，
解得，
③當a≥8時，f（x）在[2，3]上單調遞減，
綜上，
點評：本題考查了導數的幾何意義，以及導數與函數的單調性、最值之間的關系，考查了分類討論思想和做差法比較大小，屬于中檔題．