Question

已知函數(shù)，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，確定切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的斜率，即可得到曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)可得，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，，．    …（2分）
∴f'（0）=2，
∵f（0）=0，
∴曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程是2x-y=0．…（4分）
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)可得，．                             …（6分）
當(dāng)a=0時(shí)，，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減．          …（7分）
當(dāng)a≠0，．
①當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=-a，，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-a），；單調(diào)增區(qū)間是．…（10分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是，（-a，+∞）．…（13分）
綜上，a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，-a），單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增．a(chǎn)=0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；a＜0時(shí)，f（x）在，（-a，+∞）單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．