Question

如圖所示，已知OPQ是半徑為1，圓心角為

π

3

的扇形，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，B，C兩點在圓弧上，OE是∠POQ的平分線，連接OC，記∠COE=α，問：角α為何值時矩形ABCD面積最大，并求最大面積．

Answer 1

分析：先把矩形的各個邊長用角α表示出來，進而表示出矩形的面積；再利用角α的范圍來求出矩形面積的最大值即可．

解答：解：設OE交AD于M，交BC于N，顯然矩形ABCD關(guān)于OE對稱，而M，N均為AD，BC的中點，在Rt△ONC中，CN=sinα，ON=cosα．OM=DM/tan

π

6

=

3

DM=

3

CN=

3

sinα，∴MN=ON-OM=cosα-

3

sinα
即AB=cosα-

3

sinα∴BC=2CN=2sinα
故：S矩=AB•BC=(cosα-

3

sinα)•2sinα
=2sinαcosα-2

3

sin2α=sin2α-

3

(1-cos2α)=sin2α+

3

cos2α-

3

=2sin(2α+

π

3

)-

3

∵0＜α＜

π

6

，∴0＜2α＜

π

3

，

π

3

＜2α+

π

3

＜

2π

3

故當2α+

π

3

=

π

2

，即α=

π

12

時，S_矩形取得最大，此時S矩形=2-

3

．

點評：本題主要考查解三角形的有關(guān)知識在實際生活中的應用問題；解決這一類型題目的關(guān)鍵在與把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達式，最終利用數(shù)學知識解題．