【題目】已知函數
存在唯一的極值點
．
（1）求實數
的取值范圍；
（2）若
，證明：
．
【答案】（1）
；（2）詳見解析.
【解析】
（1）求導得到
，設
，討論
，
，
，
四種情況，根據零點存在定理計算得到答案.
（2）根據題意得到
，
，根據
得到
，化簡得到答案.
（1）函數的定義域為，，令，
①若，則
，
在上單調遞增，不合題意；
②若
，
，令
，得
，
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
，
（ⅰ）若
，即時，
，
，
在上單調遞增，不合題意；
（ⅱ）若
，即時，
，
，
因為
，則
，
所以在上有兩個變號零點，所以有兩個極值點，不合題意；
③若，
，則在上單調遞減；
且，
，存在唯一
，使
，
當
時，
，，當
時，
，
，
所以
是的唯一極值點，符合題意；
綜上，
的取值范圍是．
（2）由（1）可知，
，
因為
，
，所以
，
，
，
由（1）可知函數在
上單調遞減，
所以
，
，
即，，
現證明不等式：，其中
要證，即證
，即證
，
即證
，易知成立.
所以
，即，
即
，所以
，證畢．
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
（其中
，點P的軌跡記為曲線
，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點Q在曲線
上．
（1）求曲線的極坐標方程和曲線
的直角坐標方程；
（2）當
，
時，求曲線與曲線的公共點的極坐標
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】國慶70周年閱兵式上的女兵們是一道靚麗的風景線，每一名女兵都是經過層層篩選才最終入選受閱方隊，篩選標準非常嚴格，例如要求女兵身高（單位：cm）在區間
內.現從全體受閱女兵中隨機抽取200人，對她們的身高進行統計，將所得數據分為
，
，
，
，
五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數為75，最后三組的頻率之和為0.7.
（1）請根據頻率分布直方圖估計樣本的平均數
和方差
（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
（2）根據樣本數據，可認為受閱女兵的身高X（cm）近似服從正態分布
，其中
近似為樣本平均數，
近似為樣本方差.
（i）求
；
（ii）若從全體受閱女兵中隨機抽取10人，求這10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率.
參考數據：若
，則
，
，
，
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
，過
的直線與拋物線
相交于
兩點.
（1）若點
是點
關于坐標原點
的對稱點，求
面積的最小值；
（2）是否存在垂直于
軸的直線
，使得被以
為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】十項全能是由跑、跳、投等10個田徑項目組成的綜合性男子比賽項目，按照國際田徑聯合會制定的田徑運動全能評分表計分，然后將各個單項的得分相加，總分多者為優勝．下面是某次全能比賽中甲、乙兩名運動員的各個單項得分的雷達圖．
下列說法錯誤的是（ ）
A.在100米項目中，甲的得分比乙高
B.在跳高和標槍項目中，甲、乙的得分基本相同
C.甲的各項得分比乙更均衡
D.甲的總分高于乙的總分
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】紅鈴蟲（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產卵數與溫度有關.現收集到一只紅鈴蟲的產卵數y（個）和溫度x（℃）的8組觀測數據，制成圖1所示的散點圖.現用兩種模型①
，②
分別進行擬合，由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析，進一步得到圖2所示的殘差圖.
根據收集到的數據，計算得到如下值：
|
|
|
|
|
|
|
25 | 2.89 | 646 | 168 | 422688 | 48.48 | 70308 |
表中
；
；
；
；
（1）根據殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；
（2）根據（1）中所選擇的模型，求出y關于x的回歸方程（系數精確到0.01），并求溫度為34℃時，產卵數y的預報值.
（參考數據：
，
，
，
）
附：對于一組數據
，
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面為菱形，
，
．平面
平面
，
，
，
分別是
，
的中點．
（1）求證：
//平面
；
（2）若直線
與平面所成的角為
，求直線
與平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，用一個半徑為10厘米的半圓紙片卷成一個最大的無底圓錐，放在水平桌面上，被一陣風吹倒．
（1）求該圓錐的表面積
和體積
；
（2）求該圓錐被吹倒后，其最高點到桌面的距離
．
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