Question

已知函數 的圖像過坐標原點，且在點 處的切線斜率為.

(1) 求實數的值；

(2) 求函數在區間上的最小值；

(3) 若函數的圖像上存在兩點，使得對于任意給定的正實數都滿足是以為直角頂點的直角三角形，且三角形斜邊中點在軸上，求點的橫坐標的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據圖像過原點得，又切線斜率等于切點處導數值，得，解出；（2）時，對求導以判斷函數的單調性，得，

令則，令則或，

故在單調遞減，在單調遞增，在單調遞減，為極小值點，，為極大值點，，，

比較極小值與區間端點處函數值，，得在上的最小值為0，當或1時取得；（3）設，利用橫坐標的對稱關系得出，由得，于是①，然后對以為分界點分類討論方程①是否存在解，當時，都有，故方程①無解；當時，，代入①化簡得，該方程判別式小于0，故方程無解；當時，代人①化簡得，再考慮此方程是否有解，令，求導分析知是增函數，注意到，故的值域是，因此方程①對任意正實數恒有解；當時，由橫坐標的對稱性同理可得，方程①對任意正實數恒有解，綜上可得點的橫坐標的取值范圍.

試題解析：（1）當時，，，

依題意，，

又，故；...............3分

（2）當時，，

令有，故在單調遞減；在單調遞增；

在單調遞減．又,

所以當時，； 6分

（3）設，因為中點在軸上，所以，

又 ①，

（ⅰ）當時，，當時，．故①不成立 7分

（ⅱ）當時，代人①得：

，

無解； 8分

（ⅲ）當時，代人①得：

②，

設，則是增函數.

的值域是． 10分

所以對于任意給定的正實數，②恒有解，故滿足條件．

（ⅳ）由橫坐標的對稱性同理可得，當時，

，代人①得：

③

設，令，則

由上面知的值域是的值域為.

所以對于任意給定的正實數，③恒有解，故滿足條件. 12分

綜上所述，滿足條件的點的橫坐標的取值范圍為..........14分

考點：1、導數與切線關系；2、函數單調性與最值；3、分類討論的思想；4、函數與方程的思想.