Question

（1）已知定點、，動點N滿足（O為坐標原點），，，，求點P的軌跡方程.

（2）如圖，已知橢圓的上、下頂點分別為，點在橢圓上，且異于點，直線與直線分別交于點，

（ⅰ）設直線的斜率分別為、，求證：為定值；
（ⅱ）當點運動時，以為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論．

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）定點或.

解析試題分析：（Ⅰ）由題意，先確定點N是MF₁中點，然后由確定|PM|=|PF₁|，從而得到|∣PF₁|-|PF₂∣|=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|，再根據雙曲線的幾何性質，即可得到點P的軌跡方程；（2）（ⅰ）設出點，由斜率公式得到的表達式，再根據點在橢圓上，得到其為定值；（ⅱ）將以為直徑的圓上任一點坐標設出，即設點，再根據過直徑的弦所對的圓周角為直角這一幾何性質得到，從而得到點的軌跡方程也即以為直徑的圓的方程為
.因為的系數有參數，故，從而得到圓上定點或.即得到所求.
試題解析：（Ⅰ）連接ON∵ ∴點N是MF₁中點 ∴|MF₂|=2|NO|=2
∵ ∴F₁M⊥PN   ∴|PM|=|PF₁|
∴|∣PF₁|-|PF₂∣|=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|
由雙曲線的定義可知：點P的軌跡是以F₁，F₂為焦點的雙曲線.
點P的軌跡方程是  4分
（ⅰ），，令，則由題設可知，
直線的斜率，的斜率，又點在橢圓上，所以
，（），從而有.8分
（ⅱ）設點是以為直徑的圓上任意一點，則，又易求得、.所以、.故有
.又，化簡后得到以為直徑的圓的方程為
.
令，解得或.
所以以為直徑的圓恒過定點或.
考點：1.點的軌跡方程；2.直線與圓錐曲線的位置關系；3.向量數量積的坐標表示.