Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，
（1）求角A；
（2）求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知表達式，利用兩角和的正弦函數，求出A的余弦函數值，然后求出A的大小．
（2）利用正弦定理求出三角形的周長，利用（1）的結果化簡表達式的為B的三角函數的形式，然后求出最值．

解答：解：（1）2acosC+c=2b，利用正弦定理2sinAcosC+sinC=2sinB，
將sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC代入得sinC=2cosA sinC，
即cosA=

1

2

，A=

π

3

（6分）
（2）由

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

2

3

得，l△ABC=

2

3

(sinB+sinC)+1，
將C=

2π

3

-B代入化簡得l△ABC=2sin(B+

π

6

)+1，因為

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

所以周長的取值范圍是（2，3]（12分）

點評：本題考查正弦定理的應用，兩角和與差的三角函數，三角函數的最值，考查計算能力．