Question

【題目】在極坐標系中，點的極坐標是，曲線的極坐標方程為.以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率為的直線經過點.

（1）若時，寫出直線和曲線的直角坐標方程；

（2）若直線和曲線相交于不同的兩點，求線段的中點的在直角坐標系中的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

(1)利用極坐標和直角坐標的互化公式即可得解；

(2)方法一：設直線的參數方程為：（為參數）與曲線的方程聯立，根據參數的幾何意義求得，代入直線方程求得化簡消參即可得出結果.

方法二: 由于直線的斜率存在，設直線，與曲線方程聯立，根據韋達定理可得，代入直線求得，化簡可得，即可得出結果.

解：（1）點的直角坐標為，所以直線

，可得，

即

（2）如圖可知，直線和圓相切時，.

方法一：設直線的參數方程為：（為參數）

由于直線和曲線相交，所以

聯立直線和曲線的方程可得

所以，即

因此，其中

即點的軌跡方程為，

方法二：顯然直線的斜率存在，不妨設為，即直線，

與聯立可得：，

，可以解得，即：

設，，所以，所以，

可得

所以

另一方面，由于，所以

綜上，點的軌跡方程為，