Question

【題目】拋物線，為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，.

（1）證明：直線過定點；

（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或

【解析】

（1）設點，，，利用導數求出切線的斜率，再利用斜率公式求出切線的斜率，進而求出直線的方程，從而可證明直線過定點；

（2）將直線的方程與拋物線的方程聯立，利用韋達定理，求出點坐標，借助向量垂直的坐標運算，求得或，進而求得圓的面積.

（1）設，，則，

由，

所以，所以切線的斜率為，

故，整理得，

設，同理可得，

所以直線的方程為，

所以直線恒過定點.

（2）由（1）得直線的方程為，

由，得，

，，

設為線段的中點，則，

由于，而，

與向量平行，所以，

解得或，

當時，圓半徑，所以圓的面積為，

當時，圓半徑，所以圓的面積為.

所以，該圓的面積為或.