Question

已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中a²=b²+
c²，a＞0，b＞c＞0。如圖，設點F₀，F₁，F₂是相應橢圓的焦點，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點，
（1）若三角形F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求的取值范圍；
（3）一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦。是否存在實數k，使得斜率為k的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有k的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）∵，
∴，
于是，
所求“果圓”方程為。
（2）由題意，得a+c＞2b，即，
，
∴，得，
又，
∴，
（3）設“果圓”的方程為，
記平行弦的斜率為k，
當k=0時，直線與半橢圓的交點是，
與半橢圓的交點是，
∴P，Q的中點M（x，y）滿足，得，
∵a＜2b，
∴，
綜上所述，當k=0時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上；
當k＞0時，以k為斜率過B₁的直線l與半橢圓的交點是，
由此，在直線l右側，以k為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上；
當k＜0時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上。