Question

19．若函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（a+$\frac{1}{2}$）x²+（a²+a）x-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$有兩個以上的零點，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-2，-1）
• B． （-∞，-2）∪（-1，+∞）
• C． $（-\root{3}{{\frac{3}{2}}}，-1）$
• D． $（-∞，-\root{3}{{\frac{3}{2}}}）∪（-1，+∞）$

Answer 1

分析 求出函數的導數，得到極值點，利用已知條件列出不等式求解即可．

解答 解：f′（x）=x²-（2a+1）x+a（a+1）=（x-a）[x-（a+1）]，
f（x）在x=a處取得極大值f（a）=$\frac{1}{3}$a³+$\frac{1}{2}$，
在x=a+1處取得極小值f（a+1）=$\frac{1}{3}$a³+$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$a³+$\frac{1}{2}$＞0且$\frac{1}{3}$a³+$\frac{1}{3}$＜0，解得a$＞-\root{2}{\frac{3}{2}}$且a＜-1，
可得a∈$（-\root{3}{{\frac{3}{2}}}，-1）$．
故選：C．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的極值的應用，考查轉化思想以及計算能力．