Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點為F₁（1，0），離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及左頂點P的坐標；
（Ⅱ）設過點F₁的直線交橢圓C于A，B兩點，若△PAB的面積為

36

13

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的右焦點為F₁（1，0），離心率為

1

2

，建立方程，結合b²=a²-c²，即可求得橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程代入橢圓方程，利用韋達定理面結合△PAB的面積為

36

13

，即可求直線AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：c=1，

c

a

=

1

2

，所以a=2，所以b²=a²-c²=3．
所以橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1，左頂點P的坐標是（-2，0）．…（4分）
（Ⅱ）根據題意可設直線AB的方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x2 4 + y2 3 =1 x=my+1

可得：（3m²+4）y²+6my-9=0．
所以△=36m²+36（3m²+4）＞0，y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

．…（7分）
所以△PAB的面積S=

1

2

|PF1||y2-y1|=

18 m2+1

3m2+4

．…（10分）
因為△PAB的面積為

36

13

，所以

18 m2+1

3m2+4

=

36

13

．
令t=

m2+1

，則

t

3t2+1

=

2

13

(t≥1)，解得t₁=

1

6

（舍），t₂=2．
所以m=±

3

．
所以直線AB的方程為x+

3

y-1=0或x-

3

y-1=0．…（13分）

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，聯立方程，利用韋達定理是解題的關鍵．