Question

已知函數 f（x）=ax+1nx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=l處切線的斜率．
（2）設 g（x）=x²-2x+2，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax+1nx（a∈R），知當a=2時，f′(x)=2+

1

x

，x＞0，由此能求出曲線在x=1處切線的斜率．
（2）由g（x）=x²-2x+2，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），知f（x）_max＜g（x）_max，由此進行根據a的符號進行分類討論，能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax+1nx（a∈R），
∴當a=2時，f′(x)=2+

1

x

，x＞0，
∴f′（1）=2+1=3，
故曲線在x=1處切線的斜率為3．
（2）∵g（x）=x²-2x+2，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），
∴f（x）_max＜g（x）_max，
∵g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[0，1]，
∴g（x）_max=2．
當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，值域為R，故不符合題意；
當a＜0時，f（x）在（0，-

1

a

）上單調遞增，在（-

1

a

，+∞）上單調遞減，
故f（x）_max=f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）=-1-ln（-a），
∴-1-ln（-a）＜2，
解得a＜-

1

e3

．
故a的取值范圍是（-∞，-

1

e3

）．

點評：本題考查切線的斜率的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．