Question

已知函數f（x）=-sin²x+2asinx+5
（1）若x∈R，有1≤f（x）≤8，求a的取值范圍；
（2）當f（x）=0有實數解時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用t=sinx，換元，化簡函數表達式，通過對于a討論，利用函數的單調性與對稱軸，結合1≤f（x）≤8，即可求a的取值范圍；
（2）通過f（x）=0有實數解，對a討論，利用函數的單調性以及零點判定定理分別求a的取值范圍．

解答：解：（1）令t=sinx，則原函數變為y=f（t）=-t²+2at+5，t∈[-1，1]，其對稱軸為t=a．
①a＞1時，函數在t∈[-1，1]上單調遞增，所以函數值為[4-2a，4+2a]．因此有

4-2a≥1 4+2a≤8

⇒1＜a≤

3

2

．
②當-1≤a≤1時，有

f(1)≥1 f(a)≤8 f(-1)≥1

⇒-1≤a≤1．
③當a＜-1時，函數在t∈[-1，1]上單調減函數，有

4+2a≥1 4-2a≤8

，解得-

3

2

≤a＜-1，
綜上-

3

2

≤a≤

3

2

．
（2）①a＞1時，函數在t∈[-1，1]上單調遞增，所以函數值為[4-2a，4+2a]．因此有

4-2a≤0 4+2a≥0

⇒a≥2．
②當-1≤a≤1時，有

f(a)≥0 f(1)≤0或f(-1)≤0

，⇒a≥2或a≤-2，所以此時無解．
③當a＜-1時，函數在t∈[-1，1]上單調減函數，有

4+2a≤0 4-2a≥0

，解得a≤-2，
綜上a≥2或a≤-2．

點評：本題考查復合函數的單調性以及換元法、零點判定定理，分類討論思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．