Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a1=

1

2

且a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2）．
（Ⅰ）求證{

1

Sn

}是等差數(shù)列，并求出a_n的表達式；
（Ⅱ） 若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求證b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的基本性質(zhì)結(jié)合題中已知條件，便可求出

1

Sn

-

1

Sn-1

為定值，即可證明{

1

Sn

}是等差數(shù)列，然后分別討論當n=1和n≥2時a_n的表達式即可；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中求得的an的表達式求出bn的表達式，然后證明b₂²+b₃²+…+b_n²＜1即可．

解答：解：（I）證明：當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
又a_n+2S_nS_n-1=0
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），
若S_n=0，則a_n=0，
∴a₁=0與a₁=

1

2

矛盾
∴S_n≠0，S_n-1≠0．
∴

1

Sn-1

-

1

Sn

+2=0即

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
又

1

S2

-

1

S1

=2．
∴{

1

Sn

}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列
由（I）知數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列．
∴

1

Sn

=2+（n-1）•2=2n即S_n=

1

2n

∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

，
又當n=1時，S₁=a₁=

1

2

，
∴a_n=

1 2 ，(n=1) - 1 2n(n-1) (n≥2)

，
（Ⅱ）證明：由（I）知b_n=2（1-n）•

1

2n(1-n)

=

1

n

（n≥2）
∴b₂²+b₃²+…+b_n²=

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=1-

1

n

＜1

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本公式以及數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．