Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，右焦點為F，且橢圓E上的點到點F的距離的最小值為2．
（1）求a，b的值；
（2）設橢圓E的左、右頂點分別為A，B，過點A的直線l與橢圓E及直線x=8分別相交于點M，N
①當過點A，F，N三點的圓半徑最小時，求這個圓的方程；②若cos∠AMB= ，求△ABM的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知， = ，且a﹣c=2，

解得a=4，c=2，

∴b2=a2﹣c2=12，

∴a=4，b=2 ；

（2）①由（1），A（﹣4，0），F（2，0），設N（8，t）．

再設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，將點A，F，N的坐標代入，

得 ，解得 ，

∴圓的方程為x2+y2+2x﹣（t+ ）y﹣8=0，

即（x+1）2+[y﹣ （t+ ）]2=9+ （t+ ）2，

∵（t+ ）2≥（2 ）2，當且僅當t+ =±12 時，圓的半徑最小，

故所求圓的方程為x2+y2+2x±12 y﹣8=0．

②由對稱性不妨設直線l的方程為y=k（x+4）（k＞0）．

由 ，得M（ ， ），

∴ =（ ， ）， =（ ， ），

∴cos∠AMB= = =﹣ ，

化簡，得16k4﹣40k2﹣9=0，

解得k2= ，或k2= ，即k= ，或k= ，

此時總有yM=3．

∴△ABM的面積為 ×8×3=12．

【解析】1、本題考查的是由待定系數法求橢圓的方程。
2、（1）由已知條件，A（﹣4，0），F（2，0），設N（8，t）．再設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，將點A，F，N的坐標代入得到圓的一般方程
，把圓的方程整理基本不等式的形式求出最小值，當且僅當圓的半徑最小，故所求圓的方程為x2+y2+2x±12 2 y﹣8=0. （2）由對稱性不妨設直線l的方程為y=k（x+4）（k＞0）可得向量MA和MB的坐標表示，再由cos∠AMB的公式求得k的值，點M到直線的距離為3，所以三角形的面積為12.