Question

【題目】在（1+x+x2）n= x x2+… xr+… x2n﹣1 x2n的展開式中，把D ，D ，D …，D …，D 叫做三項式系數
（1）求D 的值
（2）根據二項式定理，將等式（1+x）2n=（1+x）n（x+1）n的兩邊分別展開可得，左右兩邊xn的系數相等，即C =（C ）2+（C ）2+（C ）2+…+（C ）2 ， 利用上述思想方法，請計算D C ﹣D C +D C ﹣…+（﹣1）rD C +.. C C 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=1，則D40+D41+D42+D43+D44+D45+D46+D47+D48=34=81，

令x=﹣1，則D40﹣D41+D42﹣D43+D44﹣D45+D46﹣D47+D48=（1﹣1+1）4=1，

∴D

= [（D40+D41+D42+D43+D44+D45+D46+D47+D48）

+（D40﹣D41+D42﹣D43+D44﹣D45+D46﹣D47+D48）]= ×（81+1）=41

（2）解：∵（1+x+x2）2017 =D20170+D20171x+D20172x2+…+D2017rxr+…+D20174033x4033+D20174034x4034，

（x﹣1）2017 =C20170x2017﹣C20171x2016+C20172x2015﹣C20173x2015+…+﹣C20172016x+C20172017，

其中其中x2017系數為D20170C20170﹣D20171C20171+D20172C20172﹣D20173C20173+…+（﹣1）rD C +.. C C

∵（1+x+x2）2017 （x﹣1）2017=（x3﹣1）2017，

而二項式的（x3﹣1）2017的通項公式 Tr+1=C2017r（﹣1）r（x3）2017﹣r，

因為2017不是3的倍數，所以（x3﹣1）2017的展開式中沒有x2017項，由代數式恒成立，

D20170C20170﹣D20171C20171+D20172C20172﹣D20173C20173+…+（﹣1）rD C +.. C C =0

【解析】（1）分別根據新定義，令x=1或x=﹣1，即可求出答案，（2）根據（1+x+x2）2017 （x﹣1）2017 =（x3﹣1）2017的等式兩邊的x2017項的系數相同，從求得要求式子的值．