Question

如果不等式mx²+2mx-1＜0對一切實數x均成立，則實數m的取值范圍是

-1＜m≤0

．

Answer 1

分析：由不等式mx²+2mx-1＜0對任意實數x恒成立，對系數m分類討論，當m=0時恒成立，當m≠0時，利用二次函數的性質，列出關于m的不等式，求解即可得到m的取值范圍．

解答：解：不等式mx²+2mx-1＜0對任意實數x恒成立，
①當m=0時，-1＜0對任意實數x恒成立，
∴m=0符合題意；
②當m≠0時，則有

m＜0 △=(2m)2-4m×(-1)＜0

，
∴

m＜0 -1＜m＜0

，
∴-1＜m＜0，
∴實數m的取值范圍為-1＜m＜0．
綜合①②可得，實數m的取值范圍為-1＜m≤0．
故答案為：-1＜m≤0．

點評：本題考查了函數的恒成立問題．對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．本題解題的關鍵是運用二次函數的性質進行求解，要注意對系數的討論，運用了分類討論的數學思想方法．屬于中檔題．