Question

如圖，已知半徑為的⊙與軸交于、兩點，為⊙的切線，切點為，且在第一象限，圓心的坐標為，二次函數的圖象經過、兩點.

（1）求二次函數的解析式；
（2）求切線的函數解析式；
（3）線段上是否存在一點，使得以、、為頂點的三角形與相似．若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）二次函數的解析式為；（2）切線的函數解析式為；
（3）點的坐標為或.

試題分析：（1）先求出圓的方程，并求出圓與軸的交點和的坐標，然后將點和的坐標代入二次函數中解出和的值，從而確定二次函數的解析式；（2）由于切線過原點，可設切線的函數解析式為，利用直線與圓求出值，結合點的位置確定切線的函數解析式；（3）對或進行分類討論，充分利用幾何性質，從而確定點的坐標.
試題解析：（1）由題意知，圓的方程為，令，解得或，
故點的坐標為，點的坐標為，
由于二次函數經過、兩點，則有，解得，
故二次函數的解析式為；
（2）設直線所對應的函數解析式為，由于點在第一象限，則，
由于直線與圓相切，則，解得，
故切線的函數解析式為；
（3）由圖形知，在中，，，，
在中，，由于，因為，
則必有或，
聯立，解得，故點的坐標為，
當時，直線的方程為，聯立，于是點的坐標為；
當時，，由于點為線段的中點，故點為線段的中點，
此時點的坐標為.
綜上所述，當點的坐標為或時，.