Question

求函數y=x+

1

x

(x≠0)的最值．

Answer 1

分析：求導數y′=1-

1

x2

，通過解不等式y′＞0，y′＜0可得函數的單調區間，由單調性可得結論．

解答：解：y′=1-

1

x2

，
當0＜x＜1時，y′＜0，函數單調遞減，當x＞1時，y′＞0，函數單調遞增；
當x＜-1時，y′＞0，函數單調遞增，-1＜x＜0時，y′＜0，函數單調遞減；
所以函數y=x+

1

x

(x≠0)在（-∞，-1）上遞增，在（-1，0）上遞減，在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
所以y=x+

1

x

≤-1+

1

-1

=-2，或y=x+

1

x

≥1+

1

1

=2，
故函數的值域為（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故函數無最大值，也無最小值．

點評：本題考查函數單調性的判斷及證明，考查函數思想，屬中檔題．