Question

（2012•黃州區模擬）已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），設函數f（x）=

m

•

n

+

1

2

．
（1）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

3

3

，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足2bcosA≤2c-

3

a，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意得f（x）=

m

•

n

+

1

2

=sin（x-

π

6

）=

3

3

，由 x∈[0，

π

2

]，sin（x-

π

6

）=

3

3

＞0，cos（x-

π

6

）=

6

3

，由cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]利用兩角和的余弦公式求得結果．
（2）由2bcosA≤2c-

3

a 得：cosB≥

3

2

，從而 0＜B≤

π

6

，由此求得f（B）=sin（B-

π

6

）的取值范圍．

解答：解：（1）依題意得f（x）=

m

•

n

+

1

2

=

3

sin

x

2

 cos

x

2

-cos²

x

2

+

1

2

=

3

2

sinx-

1+cosx

2

+

1

2

=sin（x-

π

6

），…（2分）
由 x∈[0，

π

2

]，得：-

π

6

≤x-

π

6

≤

π

3

，sin（x-

π

6

）=

3

3

＞0，
從而可得 cos（x-

π

6

）=

6

3

，…（4分）
則cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]=cos（x-

π

6

） sin

π

6

-sin（x-

π

6

） cos

π

6

=

2

2

-

3

6

． …（6分）
（2）在△ABC中，由2bcosA≤2c-

3

a 得 2sinBcosA≤2sin（A+B）-

3

 sinA，即 2sinAcosB≥

3

sinA，
由于sinA＞0，故有cosB≥

3

2

，從而 0＜B≤

π

6

，…（10分）
故f（B）=sin（B-

π

6

），由于 0＜B≤

π

6

，∴-

π

6

＜B-

π

6

≤0，∴sin（B-

π

6

）∈（-

1

2

，0]，即f（B）∈（-

1

2

，0]．　…（12分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，兩角和的余弦公式，兩個向量的數量積公式的應用，屬于中檔題．