Question

橢圓E的中心在原點O,焦點在x軸上,離心率e=,過點C(-1,0)的直線l交橢圓于A、B兩點,且滿足(λ≥2).

(1)若λ為常數,試用直線l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面積;

(2)若λ為常數,當△OAB的面積取得最大值時,求橢圓E的方程;

(3)若λ變化,且λ=k²+1,試問:實數λ和直線l的斜率k(k∈R)分別為何值時,橢圓E的短半軸長取得最大值？并求出此時的橢圓方程.

Answer 1

解:設橢圓方程為=1(a＞b＞0),

由e=及a²=b²+c²得a²=3b²,

故橢圓方程為x²+3y²=3b².                                            ① 

(1)∵直線l:y=k(x+1)交橢圓于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)兩點,

并且,

∴(x₁+1,y₁)=2(-1-x₂,-y₂),

即                                             ②

把y=k(x+1)代入橢圓方程,得(3k²+1)x²+6k²x+3k²-3b²=0,且k²(3b²-1)+b²＞0,              

∴x₁+x₂=-,                                                  ③

x₁x₂=.                                                   ④ 

∴S_△OAB=|y₁-y₂|=

聯立②③得x₂+1=-,

∴S_△OAB=(k≠0).                                               

(2)S_△OAB=≤(λ≥2).

當且僅當3|k|=,即k=±時,S_△OAB取得最大值,此時x₁+x₂=-1.

又∵x₁+1=-λ(x₂+1),

∴x₁=,x₂=-.

代入④得3b²=.

故此時橢圓的方程為x²+3y²=(λ≥2).                                  

(3)由②③聯立得x₁=,

將x₁,x₂代入④,得3b²=+1.

由k²=λ-1得3b²=+1=.

易知,當λ≥2時,3b²是λ的減函數,

故當λ=2時,3b²取得最大值5.                                              

所以,當λ=2,k=±1時,橢圓短半軸長取得最大值,

此時橢圓方程為x²+3y²=5.