【題目】已知函數的圖象是自原點出發的一條折線,當
(
)時,該圖象是斜率為
的線段,其中常數
且
,數列
由
(
)定義.
(1)若,求
,
;
(2)求的表達式及
的解析式(不必求
的定義域);
(3)當時,求
的定義域,并證明
的圖象與
的圖象沒有橫坐標大于1的公共點.
【答案】(1),
; (2)
;
時,
,(
); (3)
的定義域為
,證明見解析.
【解析】
(1)由題意知,
,當
時,
圖像是斜率為
的線段,所以
,即可求出
,同理求出
;(2) 當
時,
,得
,利用累加法可求得
,當
時,即
時,
化簡即可求得
的解析式;(3) 當
時,
,
的定義域為
,證明
,
時,恒有
成立,運用
的解析式結合不等式的性質即可得到結論.
(1)由,
,當
時,
圖像是斜率為
的線段,
∴,
∴,又
及
,
∴,
∴即
.
(2)由(1)知,,
;
因為當時,
,
,
所以
∴
而此式對也成立,所以
又當時,
,∴
即時,
,(
);
(3)當時,
,
的定義域為
下面證明,
時,恒有
成立
事實上,對任總存在
,使得
,于是由
可有
,進而
當時,
,
即,∴
,
綜上所述,的圖象與
的圖象沒有橫坐標大于1的公共點.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】李克強總理在很多重大場合都提出“大眾創業,萬眾創新”.某創客,白手起家,2015年一月初向銀行貸款十萬元做創業資金,每月獲得的利潤是該月初投入資金的.每月月底需要交納房租和所得稅共為該月全部金額(包括本金和利潤)的
,每月的生活費等開支為3000元,余款全部投入創業再經營.如此每月循環繼續.
(1)問到2015年年底(按照12個月計算),該創客有余款多少元?(結果保留至整數元)
(2)如果銀行貸款的年利率為,問該創客一年(12個月)能否還清銀行貸款?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=sinxcosxcos2x+1
(1)求f(x)的最小正周期和最大值,并寫出取得最大值時x的集合;
(2)將f(x)的函數圖象向左平移φ(φ>0)個單位后得到的函數g(x)是偶函數,求φ的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】現對某市工薪階層關于“樓市限購令”的態度進行調查,隨機抽調了50人,他們月收入的頻數分布及對“樓市限購令”贊成人數如表:
月收入(單位百元) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數 | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(Ⅰ)由以上統計數據填下面2×2列聯表并問是否有99%的把握認為“月收入以5500為分界點”對“樓市限購令”的態度有差異;
月收入低于55百元的人數 | 月收入不低于55百元的人數 | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
(Ⅱ)若采用分層抽樣在月收入在[15,25),[25,35)的被調查人中共隨機抽取6人進行追蹤調查,并給予其中3人“紅包”獎勵,求收到“紅包”獎勵的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.
參考公式:K2,其中n=a+b+c+d.
參考數據:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,和
都是正三角形,
, E、F分別是AC、BC的中點,且PD⊥AB于D.
(Ⅰ)證明:直線⊥平面
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】一個三角形數表按如下方式構成(如圖:其中項數):第一行是以4為首項,4為公差的等差數列,從第二行起,每一個數是其肩上兩個數的和,例如:
;
為數表中第
行的第
個數.
…
…
…
……
(1)求第2行和第3行的通項公式和
;
(2)證明:數表中除最后2行外每一行的數都依次成等差數列,并求關于
的表達式;
(3)若,
,試求一個等比數列
,使得
,且對于任意的
,均存在實數
,當
時,都有
.
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