Question

已知

a

=（x²+1，p+2），

b

=（3，x）．
（I）當p=8時，若

a

⊥

b

，求x的值．
（II）若存在唯一的實數x，使

a

+

b

與

c

=（1，2）平行，試求p的值．

Answer 1

分析：（I）當p=8時，由

a

⊥

b

可得

a

•

b

=（x²+1，10）•（3，x）=3x²+3+10x=0，由此求得x的值．
（II）先求出

a

+

b

的坐標，再根據

a

+

b

與

c

=（1，2）平行得到 2x²-x+6-p=0，由判別式△=0求得x的值．

解答：解：（I）當p=8時，由

a

⊥

b

可得

a

•

b

=（x²+1，10）•（3，x）=3x²+3+10x=0，即 （3x+1）（x+3）=0
解得 x=-3，或 x=-

1

3

．
（II）∵

a

+

b

=（x²+4，p+2+x），

c

=（1，2），由

a

+

b

與

c

=（1，2）平行可得2（x²+4）=p+2+x，即 2x²-x+6-p=0．
由題意可得 判別式△=1-8（6-p）=0，解得 p=

47

8

．

點評：本題主要考查兩個向量垂直、共線的性質，數量積公式的應用，屬于中檔題．