Question

15．如圖，拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B，設C（$\frac{7}{2}$p，0），AF與BC相交于點E．若|CF|=3|AF|，且△ACE的面積為3，則p的值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，F（$\frac{p}{2}$，0），|由于AB∥x軸，|CF|=3|AF|，|AB|=|AF|，可得|CF|=3|AB|=3p，|CE|=3|BE|．利用拋物線的定義可得x_A，代入可取y_A，再利用S_△ACE=3，即可得出．

解答 解：如圖所示，F（$\frac{p}{2}$，0），|CF|=3p．
∵AB∥x軸，|CF|=3|AF|，|AB|=|AF|，
∴|CF|=3|AB|=3p，|CE|=3|BE|．
∴x_A+$\frac{p}{2}$=p，解得x_A=$\frac{p}{2}$，
代入可取y_A=p，
∴S_△ACE=$\frac{3}{4}$S_△ABC=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×p×p$=3
解得p=2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了拋物線的定義及其性質、平行線的性質、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．