Question

【題目】對于集合，若存在兩個數列滿足(i) ；(ii) ，則稱M為一個“友誼集”，稱(A，B)為的一種“友誼排列”，如A=(3，10，7，9，6)和B=(2，8，4，5，1)便是集合的一種友誼排列，記為

(1)證明：若為一個友誼集，則存在偶數種友誼排列；

(2)確定集合及的全體友誼排列．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)由題設對的任意一種友誼排列(A，B)，作(A，B)的對偶排列，其中，，.

顯然，也是M的一種友誼排列，且若則．

再證．

事實上，假若，則由，得，矛盾．

從而，的所有友誼排列可分成若干個對偶排列組，每組兩個．

因此，的友誼排列有偶數種．

(2)設的友誼排列為.

則.

又，

以上兩式相減得. ①

顯然，而．

于是，由式①得只有三種情況： .

則．

由于，于是，A中的元素8只能與B中的元素7搭配．

而A中的元素6只與B中的元素2或3搭配，

因此，只有兩種排列.

，則．

于是，A中的元素7、8只能與B中的元素4或6搭配，也只有兩種排列

.

則．

于是，A中的元素2只能與B中的元素1搭配，8只能與4或5搭配，只有兩種排列

.

因此，共有6種友誼排列．

同理，共有10種友誼排列：

，

，

，

，