Question

如果函數f（x）滿足在集合N^*上的值域仍是集合N^*，則把函數f（x）稱為N函數．例如：f（x）=x就是N函數．
（Ⅰ）判斷下列函數：①y=x²，②y=2x-1，③y=[

x

]中，哪些是N函數？（只需寫出判斷結果）；
（Ⅱ）判斷函數g（x）=[lnx]+1是否為N函數，并證明你的結論；
（Ⅲ）證明：對于任意實數a，b，函數f（x）=[b•a^x]都不是N函數．
（注：“[x]”表示不超過x的最大整數）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由N函數得定義，結合給出的三個函數解析式，直接判斷出函數y=x²，y=2x-1不是N函數，函數y=[

x

]是N函數；
（Ⅱ）證明對?x∈N^*，[lnx]+1∈N^*．同時證明對?[lnx]+1∈N^*，總存在x∈N^*，滿足[lnx]+1∈N^*；
（Ⅲ）對a，b分類證明，當b≤0，b＞0且a≤0時舉特值驗證，當b＞0且0＜a≤1時由指數函數的性質證明，當b＞0且a＞1時，總能找到一個正整數k，使得b•a^k到b•a^k+1之間有一些正整數，從而說明函數f（x）=[b•a^x]都不是N函數．

解答：（Ⅰ）解：只有y=[

x

]是N函數．
（Ⅱ）函數g（x）=[lnx]+1是N函數．
證明如下：
顯然，?x∈N^*，[lnx]+1∈N^*．
不妨設[lnx]+1=k，k∈N^*，
由[lnx]+1=k，可得k-1≤lnx＜k，
即1≤e^k-1≤x＜e^k．
∵?k∈N^*，恒有e^k-e^k-1=e^k-1（e-1）＞1成立，
∴一定存在x∈N^*，滿足e^k-1≤x＜e^k，
∴設?k∈N^*，總存在x∈N^*，滿足[lnx]+1=k，
∴函數g（x）=[lnx]+1是N函數；
（Ⅲ）證明：（1）當b≤0時，有f（2）=[b•a²]≤0，
∴函數f（x）=[b•a^x]都不是N函數．
（2）當b＞0時，①若a≤0，有f（1）=[b•a]≤0，
∴函數f（x）=[b•a^x]都不是N函數．
②若0＜a≤1，由指數函數性質易得，b•a^x≤b•a，
∴?x∈N^*，都有f（x）=[b•a^x]≤[b•a]．
函數f（x）=[b•a^x]都不是N函數．
③若a＞1，令b•a^m+1-b•a^m＞2，則m＞loga

2

b(a-1)

，
∴一定存在正整數k，使得b•a^k+1-b•a^k＞2，
∴?n1，n2∈N*，使得b•ak＜n1＜n2＜b•ak+1，
∴f（k）＜n₁＜n₂≤f（k+1）．
又∵當x＜k時，b•a^x＜b•a^k，∴f（x）≤f（k）；
當x＞k+1時，b•a^x＞b•a^k，∴f（x）≥f（k+1），
∴?x∈N^*，都有n₁∉{f（x）|x∈N^*}，
∴函數f（x）=[b•a^x]都不是N函數．
綜上所述，對于任意實數a，b，函數f（x）=[b•a^x]都不是N函數．

點評：本題是新定義題，考查了函數的值域，解答的關鍵是學生對新定義N函數的理解，考查了分類討論的數學思想方法，是有一定難度的題目．