Question

14、有六個命題：
①如果函數y=f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）圖象關于x=a對稱；②如果函數f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖象關于x=0對稱；③如果函數y=f（x）滿足f（2a-x）=f（x），則y=f（x）的圖象關于x=a對稱；④函數y=f（x）與
f（2a-x）的圖象關于x=a對稱；⑤函數y=f（a-x）與y=f（a+x）的圖象關于x=a對稱；⑥函數y=f（a-x）與y=f（a+x）的圖象關于x=0對稱．則正確的命題是

①③④⑥

（請將你認為正確的命題前的序號全部填入題后橫線上，少填、填錯均不得分）．

Answer 1

分析：①如果函數y=f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）圖象關于x=a對稱，可由對稱性驗證；
②如果函數f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖象關于x=0對稱，可由對稱性驗證；
③如果函數y=f（x）滿足f（2a-x）=f（x），則y=f（x）的圖象關于x=a對稱，可以經過變換驗證；
④函數y=f（x）與f（2a-x）的圖象關于x=a對稱可由圖象的變換判斷；
⑤函數y=f（a-x）與y=f（a+x）的圖象關于x=a對稱，可由圖象的變換判斷；
⑥函數y=f（a-x）與y=f（a+x）的圖象關于x=0對稱，可由圖象的變換判斷．

解答：解：①如果函數y=f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）圖象關于x=a對稱，由于f（a+x）=f（a-x），兩式中的自變量到直線x=a的距離相等，函數值也相等，對軸對稱的定義知y=f（x）圖象關于x=a對稱，此命題是正確命題；
②如果函數f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖象關于x=0對稱，由①知，不正確；
③如果函數y=f（x）滿足f（2a-x）=f（x），則y=f（x）的圖象關于x=a對稱，在①中令t=a+x，得x=t-a代入f（a+x）=f（a-x），可得f（2a-t）=f（t），即f（2a-x）=f（x），故命題正確；
④函數y=f（x）與f（2a-x）的圖象關于x=a對稱，由于y=f（x）與f（-x）的圖象關于x=0對稱，故y=f（x）與f（2a-x）的圖象關于x=a對稱，命題正確；
⑤函數y=f（a-x）與y=f（a+x）的圖象關于x=a對稱，研究知兩者的圖象關于x=0對稱，故命題不正確；
⑥函數y=f（a-x）與y=f（a+x）的圖象關于x=0對稱，由圖象變換知，命題是正確的．
故答案為：①③④⑥

點評：本題考查函數的圖象與圖象變化，求解的關鍵是熟練掌握函數的圖象的變換規則以及一些常見函數的對稱性如y=f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）圖象關于x=a對稱，y=f（x）與f（-x）的圖象關于x=0對稱等．