Question

【題目】選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線：（為參數(shù)），在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)）為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同單位長度的極坐標(biāo)系中，曲線：．

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）曲線上恰好存在三個不同的點(diǎn)到曲線的距離相等，分別求這三個點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2），，．

【解析】

試題分析：（1）先將曲線的方程平方，利用平方關(guān)系，消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，將曲線的方程利用兩角和的正弦公式展開，再利用，代換，得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）結(jié)合（1）知，曲線為圓，曲線為直線，畫出圖形，通過圖形分析得這三個點(diǎn)分別在平行于直線的兩條直線，上，通過直線的位置得到直線和直線的方程，再與圓的方程聯(lián)立，得到三個點(diǎn)、、的坐標(biāo)．

試題解析：（1）由題意，得

∴曲線的普通方程為．

∵曲線：，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為．

（2）∵曲線為圓，圓心，半徑為，曲線為直線，∴圓心C1到直線的距離，∵圓上恰好存在三個不同的點(diǎn)到直線的距離相等，∴這三個點(diǎn)分別在平行于直線的兩條直線，上，如圖所示，

設(shè)與圓相交于點(diǎn)E，F，設(shè)與圓相切于點(diǎn)G，

∴直線，分別與直線的距離為，

∴：，

：．

由得或

即，；

由得即，

∴E，F，G這三個點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，，．