Question

和為114的三個(gè)數(shù)是一個(gè)等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，也分別是一個(gè)等差數(shù)列{b_n}的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第二十五項(xiàng)．
（1）證明：b₂₅=8b₄-7b₁；
（2）求這三個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三個(gè)數(shù)是等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，也分別是一個(gè)等差數(shù)列{b_n}的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第二十五項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式可證；
（2）由（1），結(jié)合和為114的三個(gè)數(shù)是一個(gè)等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求三個(gè)數(shù)．

解答：證明：（1）∵b₂₅=b₁+24d，8b₄-7b₁=8（b₁+3d）-7b₁=b₁+24d
∴命題成立…（2分）
（2）設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a，aq，aq²
則  

a+aq+aq2=114 aq2=8aq-7a

…（2分）
解之得：

q=1 a=38

，或

q=7 a=2

∴這三個(gè)數(shù)分別為38，38，38；或2，14，98…（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)，有一定的綜合性．